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| La bottiglia di Klein è una superficie dove non c'è distinzione fra interno ed esterno. Fonte immagine: https://en.wikipedia.org/wiki/ File:Surface_of_Klein_bottle_with_traced_line.svg. |
Immaginate un vasto foglio di carta su cui delle Linee Rette, dei Triangoli, dei Quadrati, dei Pentagoni, degli Esagoni e altre Figure geometriche, invece di restar ferme al lor posto, si muovano qua e là, liberamente, sulla superficie o dentro di essa, ma senza potersene sollevare e senza potervisi immergere, come delle ombre, insomma – consistenti, però, e dai contorni luminosi. Così facendo avrete un'idea abbastanza corretta del mio paese e dei miei compatrioti. Ahimè, ancora qualche anno fa avrei detto: «del mio universo», ma ora la mia mente si è aperta a una più alta visione delle cose"
di Edwin A. Abbott, Flatlandia, Adelphi, 1998.
A proposito di "Flatlandia: Racconto fantastico a più dimensioni", un racconto del XIX secolo scritto da Edwin Abbott Abbott, parliamo della geometria del nostro universo.
Superficie piana o curva
La bidimensionalità di Flatlandia indicherebbe la pertinenza di un oggetto al campo delle due tradizionali dimensioni spaziali, che noi abitanti di un mondo a tre dimensioni spaziali definiamo lunghezza e larghezza: insomma, manca la profondità, in quanto Flatlandia si sviluppa su una superficie, ragion per cui possiamo rappresentare questo universo con un’immagine cartografica.
Ma la presenza di sole due dimensioni spaziali non impone che si tratti di un superficie piana, perché potrebbe essere curva come il bordo di una sfera, un elicoide, un iperboloide, un otre di Klein, un nastro di Möbius e così via.
Comunque, alla popolazione di Flatlandia questo non crea alcun disagio, in virtù del fatto che gli abitanti di questo fantastico mondo mancano della capacità di percezione della curvatura dello spazio in cui vivono perché tutti gli oggetti sono curvi come la superficie bidimensionale che li ospita.
Il nostro Universo
Eccoci arrivati al punto: anche riguardo il nostro universo alcune teorie implicano la possibile esistenza di una curvatura complessiva dell’universo stesso dal quale dipende il suo destino.
La geometria dell'universo è spesso indicata in termini del "parametro di densità", cioè il rapporto fra la densità reale di massa dell'Universo, assumendo che essa sia distribuita uniformemente (l'universo, infatti, è solo debolmente disomogeneo e anisotropo, mentre ad ampie scale risulta omogeneo e isotropo), e la densità "critica": così se l'Universo è piatto il parametro di densità vale esattamente 1 e la densità di massa critica corrispondente è detta densità di chiusura; se è aperto (con curvatura negativa) il parametro di densità ha un valore compreso fra 0 e 1; se è chiuso (con curvatura positiva) il parametro di densità è maggiore di 1.
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| Rappresentazione di un'universo chiuso, aperto e piatto. Fonte immagine: https://en.wikipedia.org/wiki/Shape_of_the_universe #/media/File:End_of_universe.jpg |
Insomma, il problema nel trovare la forma dell'Universo sta anche nel fatto che dalla geometria locale non si può determinare con precisione la geometria globale, che pone comunque dei limiti precisi, in particolare per quanto riguarda una curvatura costante ed è la geometria ellittica, o di Riemann, a legare la geometria locale a quella globale.
A questo studio si sovrappone un'altro importante dibattito della cosmologia moderna, che tratteremo prossimamente: il nostro Universo è uno spazio connesso?
Tuttavia parlando di figure geometriche bidimensionali non ci si rende conto che persino loro desiderano comunicarci qualcosa di loro stessi, come ha fatto un quadrilatero regolare, un certo quadrato.
